Olvasási idő: 
10 perc

Vita a matematikaoktatás problémáiról egyetemi és középiskolai nézőpontból

Gondolatok a matematika tanításáról és taníthatóságáról

 

ELTE RADNÓTI MIKLÓS GYAKORLÓ ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GYAKORLÓ GIMNÁZIUM MATEMATIKA MUNKAKÖZÖSSÉGE

 

„Így jutottunk oda, hogy mai nap csaknem minden különvált szak
helyt nyert az iskolában – de nincs tanár,
aki meg volna elégedve a térrel,
melyet tantárgya az iskola keretében elfoglal,
az óraszámmal, mely rendelkezésére áll.”1

[1]Az alábbi írással kísérletet teszünk arra, hogy Radnóti Katalin és Nagy Mária: A matematika szerepe a természettudományos képzésben című cikkére reagáljunk,[2] néhol kiegészítsük azt, indokolt esetben pedig ellentmondjunk annak.

 
 
A MATEMATIKATANÍTÁS FOLYAMATA
 

A kerettantervvel összhangban úgy véljük, a matematikai gondolkodásmódot emelkedő spirális felépítésben érdemes kialakítani, a fogalmakat és összefüggéseket az életkori sajátosságoknak megfelelő szinten tárgyalva. A felső tagozatba lépő tanulók még csak konkrét tevékenység elvégzésére, tapasztalatok gyűjtésére képesek. A felső tagozaton megpróbáljuk felkelteni bennük a bizonyítás iránti igényt, hogy tapasztalataiknak már ne csak következményeit, hanem okait is megpróbálják feltárni. Ez együtt jár az elvonatkoztatás fejlődésével is.

A fokozatosan erősödő absztrakciós képességnek köszönhetően a középiskolába lépő tanulók egyre inkább képesek pontos definíciók elfogadására, kimondására, ismeretek rendszerezésére. Az elvonatkoztatásnak csak egy újabb szintjén válnak képessé a matematikai összefüggések, tételek bizonyításának megértésére, majd azok elvégezésére. Csak az érettségit közvetlenül megelőző néhány évben lesznek képesek a tanulók arra, hogy formalizálják ismereteiket, majd azokat transzferálják, azaz újszerű helyzetekben, más problémákkal szemben is alkalmazni tudják.

A fogalmi fejlődés csigaház-modellje, a tanterv spirális elrendezése szolgálja azt a célt, hogy a diákokban fokozatosan, életkori sajátosságaiknak megfelelő szinten alakuljanak ki a fogalmak. Az előbb leírt folyamatot lehet jól vagy kevésbé jól véghezvinni, kibontakozását segíteni, de siettetni, a folyamatban köztes lépéseket átugrani már nem. Ez csak felületes ismeretekhez, az elmélyült tudásrendszer hiányához vezetne, ami – az idézett cikkel egyetértésben – lehetetlenné tenné a matematikai ismeretek eszközként való kezelését, a transzfert a természettudományok területéhez.

 

A MATEMATIKA ÉS A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK TANÍTÁSÁNAK PROBLÉMÁI

Radnóti Katalinnal és Nagy Máriával egyetértve általános problémának tartjuk, hogy a természettudományok sok esetben a szükséges matematikai apparátust előbb követelik meg a tanulóktól, mint ahogy az matematikaórán elhangozna. Ilyenkor a természetismereti tárgyat tanító pedagógus, mivel szüksége van az adott ismeretekre, általában összefüggéseiből kiragadva gyorsan elhadarja azokat, képlet formájában. A mögöttes tartalom hiánya miatt a tanulók „jó esetben” is csak a képletbe való behelyettesítést, a mechanikus műveletvégzést sajátítják el mind a természettudományos tárgyból, mind matematikából, lényegi ismeretet azonban mindkettőből csak keveset kapnak. A természettudományt tanító pedagógus pedig eközben úgy érzi, hogy a tantárgyára fordítható – amúgy is kevésnek ítélt – óraszámából jelentős időt matematika tanítására kell fordítania. Ebben a helyzetben mindenki csak veszít.

Megoldást jelentene-e a problémára a matematikai ismeretek korábbi életkorban való tanítása? Úgy véljük, hogy az ismeretanyag siettetése, az életkori sajátosságok figyelmen kívül hagyása a tanulókban csak a meg nem értést és a matematika iránti ellenszenvet erősítené. Miközben valószínűleg nem sokat javulna a természettudományos tárgyakban a matematikai apparátus használata, addig a matematikai tudásuk is a képlethasználat szintjére süllyedne.

Szerintünk is szükség lenne arra, hogy a természettudományos tárgyak és a matematika tanításában szorosabb egység jöjjön létre, de nem ezen az áron. Könnyen lehet, hogy a megfelelő matematikai eszköztudás birtokában sem lenne könnyebb az adott természettudományos ismeret tanítása, mivel a diákok sok esetben nem elég érettek arra az ismeretre. Egy új tudáselemet akkor érdemes tanítani, ha a tanuló az adott fejlettségi szintjén azt már képes a helyén kezelni, a képlet mögött látja, hogy miért épp azt, akkor és úgy használtuk.

 

A TANANYAGTARTALOM BŐVÍTÉSÉNEK FELTÉTELEI

Radnóti Katalin és Nagy Mária cikkükben amellett érvelnek, hogy a matematika tananyag bővítésre szorul, hiszen a 20. század elején például még olyan ismeretek – konkrétan a differenciál- és integrálszámítás – is szerepeltek a tankönyvekben, amelyeket ma már nem tanítunk, legalábbis középszinten, minden tanuló számára kötelezően nem. Az elmúlt száz év során azonban az iskolákban a matematika tanítására fordított óraszám egyértelműen csökkent, amit a tananyagnak is követnie kellett.

1. táblázat
A matematika tanítására előírt minimális heti óraszám (1879, 2014)

 

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

Reáliskola (1879) – matematika és mértani rajz

6

5

5

6

7

7

6

5

Gimnázium (1879) – matematika és rajzoló geometria

7

7

6

6

4

4

4

3

Felső tagozat és gimnázium (2014) – matematika

4

3

3

3

3

3

3

3

 

A csökkenő kötelező óraszám ellenére a tantervbe eközben olyan, korábban nem tanított és a mindennapi élet megértéséhez szükséges témakörök kerültek bele, mint a halmazelmélet, a matematikai logika, a kombinatorika, a gráfelmélet, a valószínűségszámítás és a statisztika. A mai és a 20. század eleji matematika-tananyag összehasonlítása már csak a követelmények és lehetőségek megváltozása miatt sem célszerű.

Az előző indokok alapján nem látunk arra lehetőséget, hogy a szerzők által kért differenciál- és integrálszámítást az utolsó két évfolyamon mindenki számára kötelezően tanítsuk. Lehet ugyan rövid idő alatt, néhány esetből általánosítva a diákok számára „használható” képleteket átadni, elmondani, és megmutatni például, hogy a hatványfüggvény vagy a trigonometrikus függvény grafikonjának adott pontjában az érintő meredekségét hogyan számoljuk ki, de a témakör matematikai alapjait a tanuló így nem fogja megérteni. Ismeretei elszigeteltek lesznek, nem pedig egy rendszer részei, így maga a cél, a megkívánt transzfer sem válik lehetővé. A matematikatanításról vallott koncepciónkba sem illik bele, hogy a hosszú időn át érlelt bizonyítások iránti igényt átlépve, indoklás nélküli „késztermék” fogyasztására neveljük diákjainkat.

A differenciál- és integrálszámítás tanítása bizonyos fokú – mind matematikai, mind életkori – érettséget kíván. Iskolánkban még az utolsó két tanévben a matematikát fakultációs tárgyként választó, így azzal heti hat órában foglalkozó tanulókkal is csak közvetlenül az érettségi előtt jutunk el odáig, hogy fizikai és geometriai problémákat a differenciál- és integrálszámítás eszközeivel oldjanak meg.

 

FELKÉSZÍTÉS AZ EGYETEMI MATEMATIKÁRA

Az idézett cikk szerzői is megállapítják, hogy az érettségit szerző tanulóknak ma már nem 10%, hanem 40% körüli aránya tanul tovább a felsőoktatásban. Így tehát ma az érettségit szerzők további olyan 30%-a folytatja tanulmányait egyetemen vagy főiskolán, akiket korábban nem találtak arra elég felkészültnek. Ugyanazt a szintet elvárni a tömegoktatásban, mint ami az elitképzésben teljesült, a belépő hallgatók hozott ismereteit figyelembe véve sem reális. A kevésbé felkészült tanulók felsőoktatásba való beengedéséhez az egyetemek és főiskolák csak lassan alkalmazkodnak. Nem ésszerű, hogy a korábban a legjobb tudású 10% számára írt tantervet alkalmazzák az ettől mindenképpen elmaradó 40%-ra. Nem ésszerű az az elvárás sem, hogy a közoktatás egyik pillanatról a másikra képes legyen olyan szintű tudást átadni a végzősök mintegy felének, mint amit korábban csupán a tizedük birtokolt.

Ha a felsőoktatásba belépő tanulóktól az oktatóik a tudás egy jól meghatározott szintjét várják el, annak csak az lehet a biztosítéka, hogy azt belépési feltételként meg is követelik. Ha a természettudományos képzések felvételi követelménynek írnák elő matematikából az emelt szintű érettségit, akkor megoldódna többek között a differenciál- és integrálszámítás hiányának problémája, mivel az a középiskolai matematika fakultáción kötelező tananyag. Másrészről a minimum ponthatár emelésével, annak egyetemenként változó megszabásával az is elérhető lenne, hogy adott szakra csak olyan felvételiző kerülhessen be, akit az egyetem vezetése és az oktatók arra felkészültnek, érdemesnek tartanak.

 

ÖSSZEGZÉS

A matematika nemcsak önálló tudomány, hanem más tudományok segítője is. Radnóti Katalin és Nagy Mária véleményéhez hasonlóan a matematika tanítása során tekintettel kell lennünk az utóbbi megállapításra, ahogyan a természettudományt tanító pedagógusoknak is figyelembe kell venniük a matematika önálló voltát. A hazánkban régóta hangoztatott mérnökhiány megoldása csak a természettudományok iskolai szerepének erősítésével megoldható. Ezek hatékony és sikeres oktatásának egyik nagyon fontos feltétele, hogy a ma látható tendenciával ellentétben a matematikaoktatás is nagyobb térhez, magasabb óraszámhoz jusson.

Lábjegyzet

  1. ^ Kármán Mór (1874): A tantervek elméletéhez. Magyar Tanügy, 3. 97-103. 
  2. ^ Radnóti Katalin – Nagy Mária (2014): A matematika szerepe a természettudományos képzésben. Új Pedagógiai Szemle, 5–6. sz. 89-102.