Matematikai tehetségek

^[1]A kisgyermekkori matematikai tehetség azonosítására kevés munka vállalkozott, inkább a 10 év felettiekről írnak a kutatók. A matematikai tehetség változik az életkorral, nem lehet ugyanazokat az eljárásokat használni kisgyermekeknél, mint tizenéveseknél, és mindezektől különbözik az egyetemi szintű matematikai gondolkodás.

A matematika és a számok világa összefüggések, szabályok, rendszerek kimeríthetetlen tárháza, ezért a szellemi tevékenység kiváló terepe már kevés ismeret és tapasztalat birtokában is. A kisgyermekeknél mutatkozó kiemelkedő matematikai képesség és érdeklődés, melyet elsősorban a magasabb szintű gondolkodás és az absztrakciós képesség korai megjelenése jellemez, később többnyire más területre kanyarodik. A korai matematikai tehetség tehát több szempontból is jelentős.

A matematikai tehetség fejlődése

A matematikai tehetség igen korai életkorban megmutatkozik, és a nagy teljesítmények is inkább az ifjúkorra esnek. Átlagos megjelenése a zenei tehetség jelentkezéséhez képest valamivel későbbi életkorra tehető, fejlődési fázisai azonban gyorsabban követik egymást. A legtöbb matematikai tehetség már húszéves kora előtt komoly tudományos eredményeket ért el (Czeizel 1997). Armstrong (1994) szerint kb. 40 éves korig tart a virágzása, ezen életkor felett kiemelkedő matematikai alkotásokat már nem hoztak létre. Hasonló véleményen van Marjoram és Nelson (1985) is. Weistrasst, aki negyvenévesen vált komoly matematikussá, mint különleges kivételt említik.

A számoló tehetségek és csodagyerekek főképpen kiemelkedően hosszú távú emlékezetükkel tűnnek ki. Rengeteg művelet eredményét (pl. két-, háromjegyű számok négyzeteit) őrzik és tudják a feladatnak megfelelően mozgósítani. Szívesen számolnak, kicsi koruktól kezdve játszanak a számokkal, rengeteg időt töltenek számolással (egyik vizsgálati személy négyéves kora óta mindennap egy órát számolt). A számolásban kiváló gyerekekből azonban nem feltétlenül lesz matematikus tehetség. A tizenéves kor a vízválasztó ezen a képességterületen is (Perleth-Lehwald-Browder 1990).

Kisgyermekkorban a fiúk és a lányok matematikai képessége egyforma szintű, de 12-13 éves korban a fiúk fölénybe kerülnek. Ennek a fölénynek az okát több kutató is a fiúk jobb téri képességeinek tulajdonítja (Davis-Rimm 1985).

A fiúk és lányok között a matematikai képességek terén mutatkozó különbségeket a kutatók egy része biológiai, más része kulturális okokra vezeti vissza.

A biológiai elméletek egyik bizonyítékának tartják a matematikai képességek halmozódását az unokatestvérek házasságából született gyerekeknél. Ez a jelenség a recesszív öröklést valószínűsíti, ami genetikai meghatározottságot jelent. Egy másik biológiai elmélet hormonális hatásra és ezen keresztül agyféltekei dominanciabeli eltérésekre vezeti vissza a különbséget. A Geschwind és munkatársainakmunkáin alapuló vizsgálatokban azt találták, hogy a tesztoszteron hormon a jobb agyfélteke erősebb fejlődését okozhatja erre érzékeny egyéneknél. Ez a jelenség nagyobb mértékben valószínűsíti az immunbetegségek kialakulását, a balkezességet és a képességekbeli eltéréseket, a diszlexiát, illetve a kiemelkedő képességeket a jobb agyféltekei funkciókban (pl. téri-vizuális képességekben). Néhány vizsgálat kimutatta, hogy a matematikai tehetségeknél az átlagosnál gyakoribbak az immunbetegségek, és a balkezesek száma is nagyobb. A vizsgálatok azonban ezt még nem teljesen erősítettek meg, és a kutatók igen szkeptikusan fogadták az eredményeket.

A fiú-lány különbséget kulturális hatásokra visszavezető elméletek az okokat az apával való azonosításban, eltérő játékszerekben, megkülönböztető tanári elvárásokban és támogatásban látják (Davis-Rimm).

A matematikai tehetség gondolkodása és jellemzői

Úgy tűnik, a kiemelkedő számolási készség többféle képességgel is elérhető. Van, aki számemlékezete és gondolkodási képessége révén lesz kiváló, van, aki kizárólag hosszú távú memóriával oldja meg a kérdést (pl. minden kétjegyű szorzás eredményét tudja). Rengeteg gyakorlás van a teljesítmények mögött (Perleth-Lehwald-Browder 1990). Nyilvánvaló azonban, hogy ezek a képességek még nem hoznak létre igazi matematikai tehetséget.

Poincaré (1952) megkülönböztette a matematikai tehetség két típusát, a logikus és az intuitív típust. Az előbbi elmerül a logikában (pl. Weistrass), olyan, mint a lövészárok-háború tábornoka, míg az utóbbi a bátor huszár, aki megérzéseire támaszkodik, gondolkodása vizuális, geometrikus (pl. Bolyai).

Reichel (1997) lényegében ugyanezt a két típust különítette el más néven. Az egyik a fogalomfelismerő vagyelméletépítő, aki egy problémával szembesülve elméleteket alkot, hasonlóságokat ismer fel, leírja a jelenséget, meghatározza a szükséges fogalmakat, logikai hierarchiát alakít ki és racionálisan gondolkodik. A másik a problémával szembesülve egyszerűen meglát valamit, egy eltérő szempontot, bizonyos kapcsolatot vagy meglepő tényt, amely megoldást ad a problémára, vagy megmagyarázza a kérdéses jelenséget. Ezt a típust Reichel (Poincarénál kevesebb képzelőerővel) problémamegoldónak nevezi. A két típus megkülönböztetése azonban csak viszonylagos, mert nagyon ritka az a matematikus, aki csak az egyik típusba tartozik. Inkább az arányban vannak jelentős eltérések.

A zene gyakran erősen kapcsolódik a matematikai tehetséghez, bár a kapcsolat inkább egyoldalú. Matematikusok gyakran zenehallgatással pihennek, a zenészekre azonban nem jellemző, hogy matematikai feladványokat oldjanak meg szórakozásból. Révész (1953) szerint a hivatásos muzsikusoknak csak kilenc százaléka mutatott matematikai tehetséget vagy érdeklődést, viszont holland és más matematikusoknál jelentős mértékben talált zenei hajlamot. A zenei és matematikai tesztek nem korrelálnak ugyan, viszont a nem zenei tesztek közül az algebra mutatott legszorosabb kapcsolatot a zenei tehetséggel. Az eredményesebb zeneiskolások jobb eredményt értek el természettudományos és technikai tesztekben, mint a gyengébbek (Marjoram-Nelson 1985).

Az eredményeket lehet egyszerűen nagyobb érdeklődéssel, motivációval vagy hajtóerővel magyarázni, tulajdoníthatóak általánosan kiemelkedő képességeknek, az emlékezet és a figyelem magas fokának, de mélyebb kapcsolatok is elképzelhetők. A zene és a matematika egyaránt mérhető, mintázatokból, kapcsolatokból áll, szabályszerűségekkel dolgozik. Az ezen a téren jelentkező kiemelkedő képességek magyarázhatják a matematikai és a zenei tehetség kapcsolatát.

Idegrendszeri okokra is visszavezethető a zenei és matematikai képességek közötti enyhe összefüggés. A zenei és téri információk feldolgozása egyaránt a jobb agyféltekéhez kötődik. Az ezen a területen jelentkező erőteljesebb működés mindkét képesség fejlődésére hathat. Kísérletek bizonyítják, hogy Mozart zenéje téri feladatok megoldásában feltűnő javulást eredményezett, és a zongoraoktatás is jelentősen javítja a téri képességeket (Rauscher- Shaw-Levine-Wright-Dennis-Newcomb 1997). Tehát a zene és a téri képességek kapcsolata a gyakorlatban is kimutatható, és általánosan elfogadott tény, hogy a matematikai tehetség egyik fontos jellemzője a téri képességekben mutatott magas színvonal, így ezen a ponton találkozhat a matematika a zenével. További vizsgálatokra van szükség a jelenség pontos megértéséhez, de a végső magyarázat eléréséig is érdemes a tapasztalati kapcsolatot a gyakorlatban kamatoztatni.

A matematikai tehetségek fejlesztésekor érdemes figyelembe venni sajátos munkamódszerüket. Reichel(1997) tapasztalatai szerint a matematikai tehetségek szeretnek versenyezni, a teammunka azonban nehezükre esik. Szívesebben dolgoznak egyedül, és konzultálnak tanárukkal. Valószínűleg a matematikai gondolkodásban szükséges képzelet teszi rendkívül belsővé, egyénivé a folyamatot. Ezért a csoportos gondolkodás kevésbé hatékony, sokkal inkább a kész gondolatok megvitatására van szükségük a folyamat során.

A matematikai tehetségeknek igen sok jellemezőjét tárták fel a kutatások, vizsgálatok, ezek azonban különböző mértékben jelennek meg. Ahogy a tehetség általános meghatározásban is sokféle lehet, így a matematikai tehetségek is sokfélék.

A matematikai tehetségek főbb tulajdonságai

• Kitartás és feladat-elkötelezettség a problémamegoldásban.
• Fáradhatatlan, ha matematikáról van szó.
• Csodálatba ejtik a tények, formulák stb.
• Keresi a problémákat.
• Kiváló emlékezete van számokra, formulákra, viszonyokra, megoldási módokra stb.
• Rugalmas a gondolkodása a matematikai struktúrák és minták terén.
• Könnyen fordít a gondolkodásán.
• Kiemelkedően jó vizuális képzelet jellemzi.
• Problémák és absztrakt viszonyok vizualizációjának képessége mutatkozik.
• A részleteken felülemelkedik, az összetettet egyszerűbbé teszi.
• A problémát gyorsan formalizálja és általánosítja.
• Hasonló problémákra már a közbülső logikai lépések kihagyásával reagál.
• Egyszerű, egyenes és elegáns megoldásokat keres.
• Verbális problémákat is egyenletben tud megfogalmazni és kezelni.

A matematikai tehetség azonosítása

A kiváló matematikai gondolkodású gyerekek már korán nagy érdeklődést mutatnak a számok iránt. Gyakran érzelmileg fordulnak a számok felé, némelyeket megszemélyesítenek, lehetnek kedvenc számaik, és olyanok, amelyeket csúnyának tartanak. Szeretik a számjátékokat, élvezettel számolnak, keresnek és találnak összefüggéseket. Szeretik a kirakójátékokat, a téri rejtvényeket, mintákat. Játékaikat rendszerezik, szortíroznak, osztályba sorolnak sok mindent.

A matematikai tehetség tesztekkel történő mérése a terület objektív jellege miatt sokkal megbízhatóbb, mint a képzőművészeti vagy zenei tehetségé, mindazonáltal az alkotó matematikus elmék korai azonosítása nem megoldott.

Stanley és munkatársai az Egyesült Államokban iskolai képességeket mérő eljárást (SAT-M-et = a Scholastic Aptitude Test matematikai része) használtak a kiemelkedő matematikai képességekkel rendelkező gyerekek követéses vizsgálatba történő válogatásához. Nem kizárólag Nobel-díjra jelölteket válogattak össze (már csak azért sem, mert matematikusok nem kaphatják meg ezt a díjat), hanem az átlagosnál sokkal jobb matematikai gondolkodással jellemezhető gyerekeket. Viszonylag kevés matematikusra van a világnak szüksége, kiváló kémikusokra, fizikusokra és technikai szakemberekre azonban annál inkább igény mutatkozik, és ezeken a területeken átlagon felüli szintű matematikai képességekre van szükség. Így a teszt által azonosított tehetségek többféle területen érhetnek el kiemelkedő teljesítményeket (Stanley 1990).

A kiemelkedő matematikai képességeket mutató gyerekek verbális képességeit is vizsgálták. Kiderült, hogy bár általában magas pontszámokat értek el, nagy különbségek is mutatkoztak. Figyelemre méltó jelenség, hogy amennyiben egy gyereknek a matematikai képességei mellett a verbális képességei is nagyon jók (még akkor is, ha nem jobbak, mint a matematikai képességei), kevésbé valószínű, hogy matematikus lesz, mint ha a verbális képességei alacsonyabbak. Úgy tűnik, van egy optimális szint és arány a matematikai és verbális képességekben, amely meghatározza, hogy matematikussá válik-e az egyén.

Az újabb elméletek egyre inkább a matematikai tehetségnek a gondolkodási folyamat által történő meghatározását hangsúlyozzák. A folyamatnak két alapvető minőségét említik: (1) a szubjektív valóságból a másikba való könnyed áttolás, (2) új szubjektív valóságok könnyed alkotása (Wieczerkowsky-Prado 1993).

A Hamburgi Matematikai Tehetség Teszt (Hamburg Test für Mathematische Begabung, Wagner-Zimmermann 1986) szintén a folyamat megragadását célozza. A matematikai tevékenység hat faktoráraépül, és ezek mentén keresi a kiemelkedő képességeket. Az eljárás tehát nem kizárólag az eredmények helyességét vizsgálja, hanem a megoldáshoz vezető folyamatot is. Azokat az érzékeny változókat keresi, amelyek a hatékony matematikai gondolkodás részei. A matematikában vagy más kapcsolódó területeken megvalósuló alkotó teljesítmény jelzőiként azonosított hat faktor:

• az anyag szervezése,
• mintázat és szabályok felismerése,
• a probléma újrastrukturálása és a szabályok, mintázatok újrafelismerése,
• erősen komplex struktúrák megértése és használata,
• feldolgozás ellenkező és fordított módon,
• kapcsolódó problémák megtalálása vagy kialakítása.

A matematikai tehetségek azonosításának széles tapasztalathalmazon alapuló szakirodalma van már, így egyre hatékonyabb eszközök állnak rendelkezésünkre az identifikáció terén. A főbb irányelvek és irányokröviden összefoglalva a következők:

• A korai érdeklődés és bensőséges kapcsolat a számok terén, a téri-vizuális játékok, rejtvények preferálása jelezheti az átlagon felüli matematikai képességeket.
• Matematikai tehetséggondozó programokba általában a válogatás három típusát, és ezek kombinációit alkalmazzák: (1) objektív képességtesztek, (2) korábbi eredmények és teljesítmények a normál iskolai oktatásban; (3) a matematika iránti érdeklődés.
• A matematikai tehetséget legjobban matematikai feladatokkal lehet azonosítani. A kiváló matematikusoknak már kész repertoárjuk van a problémák megoldására. Még mielőtt számolni kezdenének, megtervezik a megoldáshoz vezető utat és a szükséges eljárásokat.
• A matematikai képességeket mérő számos eljárás geometriai rejtvényekből áll.
• A téri-vizuális képességeket és a memóriát mérő eljárások sikerrel használhatók az azonosításban.
• Az intelligenciatesztek valamelyest korrelálnak a matematikai tehetséggel, de nagy eltérések lehetnek a tesztek eredményei között. Főleg a nem verbális téri gondolkodást kívánó eljárások, például a Raven-tesztek lehetnek jelzőértékűek.
• Az alkotó matematikai tehetség a problémamegoldásban meghatározott, igen hatékony folyamatokat használ, ezen folyamatok elemeinek az azonosítása a tehetség jelzője lehet.

A matematikai tehetség fejlesztése

A matematikai tehetségek fejlesztése, ahogy az a legtöbb tehetséggondozó területen történik, alapvetően két dimenzió két típusába sorolható: iskolai, illetve iskolán kívüli, gyorsító, illetve gazdagító. A mátrixban így négyféle megoldás adódna, de sok átmeneti forma létezik, ezért számos kezdeményezés nem lenne besorolható, ha mereven ragaszkodnánk a dimenziókhoz.

Az egyik legnagyobb és legismertebb matematikai tehetséggondozó program egy kutatáshoz kapcsolódik.Stanley és munkatársai 1972-ben követéses vizsgálatot indítottak a matematikai tehetség fejlődésének megismerésére. Nem elégedtek meg a megfigyeléssel, hanem a kiválogatott tehetségígéreteknek képzést biztosítottak, hogy a fejlesztés tapasztalatait is felhasználhassák.

A matematikai tehetségek gondozásában a gyorsítást tartják igen hatékony megoldásnak. Már az óvodába járás időpontjában korai kezdést javasolnak, majd folyamatosan a gyermek érdeklődési területének megfelelő tárgyakban az életkortól független előmenetelt. Nagy szerepük van a gyorsító munkában a nyári táboroknak. Némely esetben két év anyagát végezték el a diákok a háromhetes táborban. Az eredményességet növelte a képzett mentorok közreműködése. A mentorok folyamatosan tesztelik a gyerekeket, így pontosan ismerik erősségeiket, hiányosságaikat, hibáikat. Ennek alapján egyéni fejlesztési programot dolgoznak ki, és végig támogatják a gyereket a tanulási folyamatban. Stanley nagy nyomatékkal hangsúlyozza a mentorok fontosságát a matematikai tehetségek gondozásában (Stanley 1990).

Marjoram és Nelson (1985) szerint a legkiválóbb matematikai tehetségek (felső 1%) számára nincsenekspeciális fejlesztő programok. A tanárok nincsenek felkészülve gazdagító anyagok készítésére, és kevés ilyen anyag áll készen rendelkezésre. Nem ismert, hogy milyen mértékben hatékony a "mélységében" (nehezebb feladatok a tananyagon belül), illetve "szélességében" (kiegészítő ismeretek) történő gazdagítás.

Németországban az azonosítás kérdése kapcsán már említett Hamburgi Matematikai Tehetség Teszttel a diákok közül a legjobb 20 százalékot válogatják ki minden évben, és fejlesztő programot indítanak képességeik kiaknázására. A program 25 hétig tart. A résztvevők kiscsoportokban dolgoznak kívánság szerinti témákban (gráfelmélet, permutációk, geometria stb.). Minden témakör folytatható a későbbiekben is, mert kiindulópontként választották ki őket. A cél a problémamegoldó stratégiák tervezésének, a probléma azonosításának, kiterjesztésének stb., tehát a hatékony matematikai gondolkodási folyamatnak a gyakorlása (Wagner-Zimmermann 1986).

A Magyarországon is gyakori levelező matematikai versenyek, klubok és csoportok akkor jelenthetnek különösen hatékony megoldást a matematikai tehetséggondozásban, ha a kiemelkedő teljesítményeket mutató gyerekeknek lehetőséget biztosítanak a továbblépésre, személyes kapcsolatokra matematikusokkal, esetleg egyéni programok kidolgozásával, és nem elégednek meg csupán versenyek megrendezésével. A matematikai, számítástechnikai és sakkfeladványokat közreadó folyóiratok is segíthetik a matematikai képességek fejlesztését, de a legkiemelkedőbbeknek e lehetőségek legfeljebb a megmutatkozásra alkalmasak, további fejlődésükhöz egyéni odafigyelésre van szükség.

Irodalom

Armstrong, T. (1994): Multiple intelligences in the classroom. Alexandria, Virginia, ASCD.

Czeizel E. (1997): Sors és tehetség. Budapest, FITT Image és Minerva.

Davis, G. A.-Rimm, S. B. (1985): Education of the Gifted and Talented. New Jersey, Prentice Hall Inc., Anglewood, Cliffs.

Marjoram, D.T. E.-Nelson, R. D. (1985): Mathematical gifts. In Freeman, J. (ed.): The Psychology of Gifted Children. John Wiley & Sons Ltd. 185-200.

Perleth, C.-Lehwald, G.-Browder, C.S. (1993): Indicators of High Ability in young children. In Heller - Mönks- Passow: International Handbook of Research and Development of Giftedness and Talent. Oxford, Pergamon.

Poincaré, H. (1952): Science and Method. Dover, New York.

Rauscher, F. H.-Shaw, G. L.-Levine, L. J.-Wright, E. L.-Dennis, W. R.-Newcomb, R. L. (1997): Music training causes long-term enhancement of preschool children’s spatial-temporal reasoning. Neurological Research,Vol. 19, Febr. 2-8.

Reichel, H. C. (1997): Identifying and promoting mathematically gifted pupils and students (12-20 years).High Ability Studies, Vol. 8, No. 2. 223-232.

Révész, G. (1953): Introduction to the psychology of music. London, Longman, Green.

Stanley, J. C. (1990): Finding and helping young people with exceptional mathematical reasoning ability.
In Howe, M.J.A. (ed.): Encouraging the Development of Exceptional Skills and Talent. London, British Psychological Society. 211-221.

Wagner, H.-Zimmermann, B. (1986): Identification and fostering of mathematically gifted children. In Cropley- Urban-Wagner-Wieczerkowsky (eds.): Giftedness: A continuing worldwide challenge. New York, Trillum Press. 273-284.

Wieczerkowsky, W.-Prado, T. M. (1993): Programs ans strategies for nurturing talents/gifts in mathematics.
In Heller-Mönks-Passow: International Handbook of Research and Development of Giftedness and Talent.Oxford, Pergamon. 443-451.

Footnotes

1. ^ A tanulmány az OTKA támogatásával készült (T029770).