Olvasási idő: 
21 perc
Author

Az eredmény és a hozzá vezető utak

Ha egy felnőtt azt hallja, hogy 4+3, általában azonnal fejben kiszámolja, hogy 7, anélkül, hogy kértük volna tőle. Ráadásul nehézséget okoz beszámolnunk arról, hogyan tudtuk gyorsan és pontosan kiszámolni az eredményt. Ha mégis megpróbáljuk másoknak elmesélni, általában nem lesz pontos a beszámolónk, hiszen a fejben számolás az agyunkban villámgyorsan lejátszódó folyamatok eredménye. Azonban óvodás- és kisiskoláskorban még kihívást jelent egy egyszerű összeadás, és a gyerekek többféle módszerrel igyekeznek megoldani: ujjaik segítségével vagy akár egy dominó pöttyeit elképzelve.

Észrevehetjük, hogy az iskolás évek során egyre nehezebb számolási feladatokat tudnak úgy megoldani a tanulók, hogy a megoldási folyamat tervéről, a folyamat nyomon követéséről is képesek beszámolni, és egymástól jelentősen különböző utakon jutnak el még egy egyszerű összeadásos feladat megoldásához is. Hétköznapi nyelven valahogy így összegezhetők Csíkos Csaba és munkatársainak méréses kutatási eredményei, amelyek a fejszámolási képességek fejlesztésének hatékonyságát vizsgálták negyedikes tanulók körében.

A kutatás alapjául háromjegyű számok fejbeni összeadása szolgált. A kutatási eredmények kétséget kizáróan bizonyítják, hogy a tanulói hatékonyság szembeötlő különbségeket mutat annak függvényében, mennyire helyes stratégiát választanak a gyerekek ugyanazon feladat végrehajtása során. Az összeadásos példákból levont tanulságok sora pedig a végtelenségig folytatható: a gyermekek fejszámolási képességeinek fejlesztése hatványozott mértékben jelentkezik az egyéb gondolkodási, rendszeralkotó és problémamegoldási képességek területén.

– Tanár úr nemrégiben egy konferencián a 4+3 példájánál kissé bonyolultabb feladvánnyal szemléltette kutatási módszertanát: 327+115. Vizsgálataik értelmében döntő különbség van aszerint, milyen úton jut el a diák a helyes megoldáshoz. Miért fontos a pedagógia számára a különféle megoldási utak tudományos vizsgálata?

– Vizsgálatunk célja az volt, hogy kimutassuk, milyen összefüggés áll fenn a diákok fejszámolási teljesítménye és az általuk választott módszer között. Felméréseink 87 tíz év körüli, negyedik osztályos gyermek – közel fele-fele arányban fiúk és lányok – bevonásával készültek. Két iskola két-két osztályában folytattuk le a kutatást. Az egyik iskola Szatymazon, egy Csongrád megyei községben, a másik Kecskeméten, tehát megyeszékhelyen működik, a gyerekek szociokulturális háttere megfelel az átlagosnak. Hogy a számok világában maradjunk: már egyetlen, 8 feladványból álló feladatsor megoldási hatékonysága szembeszökő eltérést mutat aszerint, mely vizsgálati csoport milyen fejszámolási módszereket sajátított el. Ugyanennyire fontos azonban az is, hogy mennyire voltak fölkészítve arra, hogy maguk válasszanak a megoldási stratégiák közül. A Nemzetközi Olvasástársaság által kiadott The literacy dictionary szerint pedagógiai értelemben a „stratégia egy szisztematikus terv, melyet az egyén tudatosan alkalmaz és nyomon követ a jobb tanulási teljesítmény elérése érdekében”. Ez éppúgy érvényes a matematika, az olvasás, az írás, a sakk vagy éppen az autóvezetés területén. A mérések azt mutatják, hogy ha a gyermeket elvezetjük odáig, hogy maga lássa át az egyes megoldási módozatok logikáját, előnyeit és nehézségeit, azaz ha megtanítjuk mérlegelni és választani, a megoldás hatékonysága növelhető. Figyelemre méltó körülmény, hogy ez az összefüggés azon gyermekek körében is áll, akik általában gyöngébb teljesítményt nyújtanak a számolási, aritmetikai feladatok terén, megfelelően Verschaffel, Luwel, Torbeyns és Van Dooren 2009-ben közzétett eredményének, mely szerint „a kevésbé rutinszerű (flexibilis) feladatkitűzési megközelítés célravezetőbb lehet, még a fiatalabb és matematikában gyöngébb gyerekek esetében is”. Hazánkban Szendrei Julianna Gondolod, hogy egyre megy? című, 2005-ben megjelentetett könyve nyújt segítséget ahhoz, miként lehet fokozatosan áttérni a rutinszerű megoldások sulykolásáról az önszabályozó módszerre.

– Miért fókuszált a vizsgálat épp a háromtagú számok összeadására, illetve a negyedikes korosztályra? Első ránézésre úgy tetszik, ennek az lehetett az oka, hogy ez a művelet már föltételez bizonyos önállóságot a korábban elsajátított, mechanikus tudásanyag fölhasználása terén.

– A fejszámolás folyamatainak leírása többszintű, interdiszciplináris megközelítésmódot igényel, az idegtudománytól a kognitív pszichológián keresztül a tankönyvi analízisig. A nevelés szemszögéből különösen fontos, hogy a fejleszthető fejszámolási készségeket a megfelelő feladatkitűzésekkel irányítsuk. A háromjegyű számok összeadásához a diáknak mozgósítania kell az alsóbb osztályokban elsajátítottakat. Hazánkban az összeadás és kivonás oktatása terén legelterjedtebb a Cuisenaire-féle színes rudak használata, ez azonban a háromjegyű számok összeadásának megjelenésekor nem alkalmazható többé, noha egyes kivonási műveletek esetén az indirekt összeadás vizuális szemléltetése lehetséges velük. Tízéves korukra a gyerekek elsajátítják az egy-, illetve többjegyű számok fejben összeadásának és kivonásának gyakorlatát. Ekkor válik mérhetővé, vajon milyen megoldási utat választanak egy-egy feladat megoldása során. A teljesítmény mérésekor mind a megoldás sikerességének mértéke, mind a megoldásra szánt idő jelentőséggel bír, de az is fontos cél, hogy azonosítsuk azt a stratégiát, amelyet a tanulók a cél eléréséhez választottak. Ezáltal feltárulnak az összefüggések az általuk használt stratégia és helyes, illetve helytelen válaszmintáik között. Kutatásaink során ezt a célt egy közös ellenőrzési tevékenység szolgálta. Minden résztvevőt arra kértünk, mondja diktafonra, milyen megoldási utat választott. A hangfelvételeket azután két független szakértő egymástól függetlenül értékelte, és a legtöbb esetben egyöntetűen meg lehetett mondani, milyen stratégiáról számolt be a gyerek.

– Melyik életkorban dől el, hogy mennyire válunk hatékonnyá a műveleti stratégiák megválasztásában, illetve maradunk mechanikus megoldási sémák passzív alkalmazóivá?

– Magyarországon – elsősorban Nagy József és munkatársai jóvoltából – lassan 50 éve gyűlnek adatok arról, hogy a 4–8 éves korosztályban egyes elemi számolási készségek fejlődése milyen tempóban éri el vagy közelíti meg az optimális szintet, amely lényegében a felnőtt szakember tempóját jelenti. Az általunk vizsgált életkorra, 10 évesen a tanulók már begyakorolt fejszámolási stratégiákkal operálnak, ugyanakkor a háromjegyű számok összeadása még nem automatizálódott ebben a korcsoportban. A nyolc feladatból álló feladatsort tudatosan úgy állítottuk össze, hogy a nemzetközi szakirodalomban ismert fejszámolási stratégiák mindegyikének megfeleljen egyik vagy másik feladat. A felmérések egyik megfontolandó tanulsága, hogy a tanulók közel fele mégis ugyanahhoz a megoldási stratégiához ragaszkodott mind a nyolc megoldandó feladat esetében. Az egyes iskolák mérési eredményeit is összevetettük, amiből az mutatható ki, hogy a számolási képességek fejlesztése során a tanárok előnyben részesítenek egyes megoldási stratégiákat, míg mások háttérbe szorulnak. Hogy mennyi 327+115, annak kiszámításában többféle hatékony stratégia figyelhető meg. Azonban hogy melyik a leghatékonyabb, általában három dologtól függ: a feladat konkrét tartalmától, a feladatot megoldó személy preferenciáitól, szokásaitól, illetve a feladatkitűzés kontextusától. A készségfejlesztésnek mindhárom tényezőre hangsúlyt kell helyeznie. Kutatási eredményeink azt mutatják, hogy a diákok túlnyomó része előszeretettel választ azonos stratégiát: 47 százalékuk mind a nyolc feladatot azonos stratégiával oldotta meg, ami nem éppen kedvező adat, hiszen azt jelzi, a feladatok konkrét különbségei nemigen befolyásolták őket. A feladatmegoldás sikerességének szempontjából ugyan nem mutatható ki jelentékeny különbség aszerint, hogy az egyetlen stratégiához ragaszkodó diákok mely stratégiát választották, ami azonban nagyon elgondolkodtató: azok, akik nem vállalkoztak stratégiaváltásra, a nyolcadik feladatot sokkal kevésbé sikeresen oldották meg, mint az első hetet. A kutatás tehát nem azt kívánja állítani, hogy a mai magyar matematikaoktatás nem tanítja meg a gyermekeket a fejszámolásra (ráadásul joggal kérdezhető, miért éppen a fejszámolást emeltük ki a sokféle fejlesztendő készség közül), de rávilágít arra, hogy kevésbé készít föl a többféle megoldási stratégia közül a leghatékonyabb önálló kiválasztására és végrehajtására.

Forrás: Nagy József: A kritikus kognitív készségek és képességek kritériumorientált fejlesztése. Új Pedagógiai Szemle 2000, 7–8. sz. 255–269.

– Amikor feladatmegoldási stratégiát választunk, tudatosan vagy automatikusan tesszük?

– Nagyon izgalmas és nehéz ez a kérdés. Most készülő akadémiai doktori értekezésemben külön fejezet szól arról, hogy a tudatosság milyen kapcsolatban van gondolkodásunk stratégiai összetevőivel. Emiatt is nehéz most célratörő választ megfogalmazni. A tudatosságnak egy olyan értelmezésére teszek javaslatot a pedagógia számára, amely a szavakban legalább utólag elmondható tudáselemek közé helyezi a tudatosságot (ezt a szakirodalom az awareness kifejezéssel jelöli), vagyis a pedagógia számára a szóban megfogalmazható tervezési, nyomon követési és ellenőrző gondolkodási folyamatokat tekintem jelentősnek.

Meg lehet fogalmazni azt a kérdést is, hogy mennyi tudatosságra van szükség, amikor valamilyen gondolkodási folyamatot működtetünk. Hadd mondjak el egy olyan megközelítést, ami logikusnak tűnik, ám tarthatatlan. Gondolkodhatnánk úgy, hogy a gyerek tanuljon meg írni, olvasni, számolni, és amikor mindhárom területen megfelelően működnek az alapkészségei, akkor majd elkezdhetünk neki számolási, olvasási vagy fogalmazási stratégiákról beszélni. Ez a fölfogás azért tarthatatlan, mert az alapkészségek fejlődésének legkezdetibb időszakától szükség van a stratégiákra, és azok a teljesítményszinttől függetlenül biztosan jelen vannak. A készség fejlődésének kezdeti szakaszától jelen vannak tudatos stratégiák: ismerjük meg őket, nevezzük meg őket (gyereknyelven), és ne hirdessünk győztest a stratégiák között! Másfelől tekintsük a stratégiákat átmeneti mankónak, eszköznek! (Ez hasonlít a szövegfeladat-megoldás lépéseinek tanítására.) A készségek és jártasságok elsajátításának kezdeti szakaszában fontos szerepe van a tudatosságnak, a tudatos gyakorlásnak. A megfelelően fejlesztett készségek azonban automatizálódnak. A készség maga is egy valamilyen szinten automatizálódott rendszer a gondolkodásunkban. Az automatizálódás a fejlődés, a nagyobb sebesség és a hibátlan működés velejárója. Ugyanakkor tudatos döntéseket kell hoznunk a tervezés, a nyomon követés és az ellenőrzés fázisaiban. Nemrég találkoztam Noël Burch filmesztéta munkásságával, akinek a gondolataival barátkozva azt a feltételezést engedném meg, hogy az említett három alapkészség (de persze a továbbiak: autóvezetés, sportjátékok vagy akár a mozgásos és szociális készségek rendszereiben is) a fejlődés legalacsonyabb szintjén nem működik jól, ráadásul még azt sem tudja az egyén, hogy miért nem működik. A következő szint az lehet, amikor már legalább tudja, hogy mi és miért nem működik úgy, ahogyan kellene. Ilyen az, amikor valaki rájön, hogy elszámolt valamit, rájön, hogy rosszul olvasott el egy szót, és újra nekifut, de ilyen az is, amikor a tanuló vezető vagy a kezdő focista meg tudja mondani, mit kellett volna másképpen csinálnia. Az efölötti szinten azután a tudatosság fenntartásával egyszer csak kisimul, följavul a teljesítmény, míg végül a legmagasabb szinten a teljesítményünk úgy válik megfelelővé, hogy nehézséget jelent beszámolnunk róla önmagunk vagy mások előtt. Ez az a szint, amelyre egy adott tantárgy készségeit tanítva a tanító és a tanár is eljut, de mégis meg kell tanulnia, hogy a piramis alsóbb szintjein lévőknek hogyan segíthet, hogy majd ők is kiváló teljesítményt nyújtsanak.

– Milyen stratégiákat különböztethetünk meg a fejszámolási feladatok megoldása terén?

– A gondolkodási folyamatok, a művészi intelligencia vagy éppen a stratégiai játékok elemzésekor a stratégia általában a tervezési folyamatokra vonatkozik, amelyek során összekapcsolódnak a gondolati lépések és a részleges célok, míg a taktika a megfontolás mélyebb szintjét jelenti, és az azonnali ítélethozatali láncra fókuszál. Neveléstudományi értelemben a stratégia egy tudatosan elfogadott, szisztematikus terv, amely a teljesítmény javítása érdekében folytonosan kontrollált. A neveléstudományban első ízben az olvasáskutatás alkalmazta a kifejezést. Egy fejben végzett összeadási vagy kivonási művelet példájára vetítve egy egész sor stratégia közül választhatunk. A legegyszerűbb esetben úgy dönthetünk, hogy írásban végezzük el fejszámolás helyett. Mindenesetre úgy tűnik, egyes gyerekek számára a fejszámolási stratégiák tűnnek kézenfekvőbbnek, míg mások számára az írott algoritmus kínál kedvezőbb megoldást.

A rendelkezésünkre álló tanulmányok az alábbi stratégiákat sorolják föl a háromjegyű számok összeadási feladatainál:

123 + 456 = 123 + 400 + 50 + 6

Ebben az esetben a második szám százasait, majd tízeseit, végül egyeseit adjuk hozzá az elsőhöz, mintegy lépegetve előre, ezért hívjuk ezt lépésenkénti fejben összeadásos stratégiának.

123 + 456 = (100 + 400) + (20 + 50) + (3 + 6)

A második példában mindkét szám százasait, majd mindkét szám tízeseit, végül mindkettőnek az egyeseit adjuk össze (ne feledjük, mindezt fejben), így ezt a helyi érték szerinti fejszámolás stratégiájának nevezzük.

527 + 398 = 527 + 400 − 2

Vannak esetek, amikor kis erőfeszítéssel, fejben kerekíteni tudjuk az egyik számot vagy akár mindkettőt, és a kerekítés során elvett vagy hozzáadott értékkel kompenzáljuk a másik számot. Ezt egyszerűsítő vagy kompenzáló stratégiának nevezhetjük.

Előfordulhat, hogy egy matematikai szempontból kivonásnak nevezett művelettel fejben úgy bánunk el, hogy összeadássá alakítjuk. Pl. ha 701–598-at kell kiszámolnunk, akkor könnyen lehetséges, hogy az 598-hoz 2-t adva, majd a 600-hoz 101-et adva kapjuk meg a végeredményt, amit a szakirodalom az indirekt összeadás stratégiájának nevez.

Végül pedig a fejben számolást elvégezhetjük úgy is, hogy elképzeljük a műveletet írásbeli összeadásként, és az írásbeli összeadás folyamatát képzeletben, a részszámítások leírása nélkül végezzük el. Ez a stratégia sem ördögtől való, és más országban is megfigyelték, hogy amelyik évfolyamtól az írásbeli műveletvégzés bekerül a tananyagba, onnantól ez egy jelentős és gyakori fejben számolási stratégia lesz. Néha nem könnyű megkülönböztetni a helyi érték szerinti számolás stratégiájától. Láthatjuk tehát, hogy teljesen eltérő agyi folyamatok vezethetnek ugyanarra az eredményre. A tanítás eredményességét az szolgálja, ha rendelkezésre áll a lehetséges stratégiák egész sora, hogy kirajzolódhassanak a stratégiahasználat és a tanulói eredmények közötti összefüggések.

A legfőbb tanulság tehát az, hogy nem elég, ha a tanulók kis stratégiakészlet birtokában viszonylag eredményesen oldják meg a feladatokat, hanem az a célravezető, ha képesek az adott feladatoknak leginkább megfelelő stratégia kiválasztására. Ez a „leginkább megfelelő stratégia” kifejezés eléggé sarkosan hangzik, de ne feledjük, hogy nem csupán a feladat jellemzőitől függ. Fontosak az egyéni preferenciák: vannak verbális stílusú tanulók, vannak inkább vizuális stílusúak, és további, akár érzelmi alapú különbségek is lehetnek abban, hogy milyen stratégiát választanak egy-egy feladatnál.

Harmadik tényezőként pedig a feladat kontextusáról még nem beszéltünk: elképzelhető, hogy a piacon, a boltban másképpen számolunk fejben, mint az iskolában. Ez önmagában nem baj, viszont egy újabb lehetőség arra, hogy tudatosítsuk, mitől függ a fejben számolás stratégiáinak kiválasztása. Egy rövid, nyolchetes kísérleti program végén (amelynek eredményeit éppen most mutattam be a Psychology of Mathematics Education 40. konferenciáján, amit Szegeden rendeztünk) az egyik tanító idézte az egyik legjobb tanuló sóhajtását: „Tanító néni, én most teljesen összezavarodtam.” Abban az értelemben valóban „zavart keltő” lehet az általam javasolt oktatási megközelítés, hogy a „hogyan kell…?” kezdetű és hasonló típusú kérdéseket itt nem lehet jól értelmezni. A valódi kérdés ehelyett kettős: „hogyan lehet?” és „számodra ebben a helyzetben melyik a jó?”. Ezért is fontos, hogy olyan tankönyvet adjunk a diákok kezébe, a tanárokat pedig olyan segédanyagok lássák el ötletekkel, amelyek többféle megoldásra is példát mutatnak. Vizsgálatunk azonban arra mutat, bármilyen megoldásokat kínál is a tankönyv, a tanulók a tanár preferenciái szerint választanak stratégiákat.

– Összegezhetjük akként a kutatás eredményeit, hogy a jó tanítás gondolkodni tanít meg ahelyett, hogy merőben adatalapú tudásanyag többé-kevésbé sikeres alkalmazóivá nevelne?

– A téma mai kutatói között egyetértés mutatkozik abban, hogy egy gyorsan változó társadalmi-gazdasági környezetben mind fontosabb a diákok stratégiai gondolkodásának fejlesztése. A fejszámolás, mindennapi hasznosságán túl, alkalmas a diákok stratégiai gondolkodásának, automatizált gondolkodási folyamatainak fejlesztésére. Összehasonlítva a papíron elvégzett számításokkal, a fejszámolási eljárások a számítási stratégiák jóval szélesebb eszköztárát vethetik latba, alkalmazkodva a feladathoz, az egyéni jellemvonásokhoz és a körülmények szabta korlátokhoz. Míg papíron egy módon számoljuk ki, mennyi 327+115, fejszámolással több lehetséges út közül választhatunk. Például 701−694=7 megoldása során az indirekt összeadás 11,77 másodperc, a fejben elvégzett írásbeli kivonás 38,65 másodperc alatt történt! A következtetések rendkívül szerteágazók. Hope és Sherrill a fejben szorzás eredményességét kutatta a stratégiaválasztás függvényében. A jól és a rosszul teljesítők stratégiaválasztásának elemzése azt mutatta, hogy a rosszabb képességű résztvevők túlnyomórészt a papír-ceruza jellegű stratégiát követték, nem nagy sikerrel. A jobb képességűek kifinomultabb megoldáshoz folyamodtak, ahol a szorzó és a szorzandó egyikét vagy akár mindkét számot összegekké vagy különbségekké alakították át. Az a jelenség, hogy azonos szintű teljesítmény mögött más agyi folyamatok zajlanak, ismert az olvasás területéről is. Hadd térjek ki röviden arra a gondolatra, amit korábban már felvetettünk, tudniillik a számolási készség kutatásával nyert eredmények más készségterületekre való alkalmazására. Az olvasás területén Steklács János barátommal végeztünk több, ugyancsak a gondolkodás stratégiai elemeire irányuló vizsgálatot, amelyek hasonló következtetésre vezettek. Molnár Edit Katalin szegedi kolléganőm az írásbeli szövegalkotás kutatása során mutatta meg, mennyire kevéssé vannak tudatában még a középiskolások is a szövegalkotás különböző stratégiai elemeinek.

A következtetések általánosításánál azért igyekszem visszafogottan fogalmazni, mert elég könnyű elképzelni, hogyan lehet átesni a ló túloldalára például a gondolkodási stratégiák tanításával. Képzeljük el, ha mondjuk ötödik osztályos irodalomkönyvben, egy külön tankönyvi leckében vastag betűvel felsorolná a szerző a szakirodalomban eddig leírt olvasási stratégiákat, másnap pedig a gyerekek arra kapnának jegyet, hogy ezeket a stratégiákat jól fel tudják-e sorolni. Amikor a gondolkodási stratégiák fejlesztéséről gondolkodunk, finom változtatásokra, sok apró lépésre van szükség a köznevelési rendszer különféle területein. Ha olyan embereket akarunk nevelni, akik az életben felvetődő megoldandó feladatokkal szembesülve képesek hatékony és megfelelő stratégiát választani, akkor ennek pedagógiai konzekvenciái a tantervírástól a pedagógusképzésen át a taneszközök szerkesztéséig érnek. Az oktatás akkor tölti be a rendeletetését, ha felkínálja a megoldási utakat, bemutatja az előnyeiket, és alkalmassá tesz rá, hogy magunk válasszuk ki az adott helyzetnek legmegfelelőbb, hatékony stratégiát.