A kombinatorikus gondolkodás fejlesztésének lehetőségei
Szöveg: Dr. Bagota Mónika, ELTE TÖK Matematka Tanszék
„Minden gyerekben születésétől fogva benne van a természetes érdeklődés a világ titkainak kifürkészésére és saját képességeinek kifejlesztésére – vagyis a tanulásra. Tanulni éppúgy természettől fogva szeret a gyerek, mint enni, mindaddig, amíg egészséges, amíg neki való tanulni-, illetve ennivalót kap – és mindaddig, amíg el nem rontják.”
(Varga Tamás)
Az alábbi publikációban A komplex matematikatanítás a XXI. században – a kombinatorikus gondolkodás fejlesztése a legújabb kutatási eredmények alapján című, MTA által támogatott oktatási projektben létrehozott, felső tagozatos általános iskolásoknak szánt oktatási anyagokat szeretném bemutatni.
I. A projekt rövid bemutatása
A projekt ismertetéseként dr. Vancsó Ödön projektvezető pályázati összefoglalójából idéznék néhány mondatot:
„Varga Tamás Komplex Matematikatanítási Kísérlete egy olyan magyar matematikatanítási koncepció, amelynek eredményei ugyan beépültek a magyar matematikaoktatásba, de hangsúlyuk – különösen az utóbbi időben, egyre jobban csökken. Az ELTE TTK és TÓK, a Szegedi Tudományegyetem és a Kaposvári Egyetem vezető matematika-szakmódszertani szakembereiből álló kutatócsoport fő szándéka az volt, hogy a meglevő művet megmentse, és a kor matematikadidaktikai kutatási eredményeit ebbe beépítse.
A munkánkat egy konkrét területen, a kombinatorika területén végeztük. Jól ismert, hogy a kombinatorikafeladatok többsége nem oldható meg mechanikusan, igénylik a kritikai gondolkodást, így aktiválják a metakognitív képességeket, a stratégiai tervezést, ezáltal javítják a matematikai teljesítményt.
Munkacsoportunk a pályázat keretén belül célul tűzte ki a komplex matematikatanítási kísérlet tevékenységeinek, feladatanyagának korszerűsítését a mai kor igényeinek és lehetőségeinek (például informatikai eszközök) megfelelően. A projektben végig együttműködött szakmódszertani kutató, oktatás iránt fogékony matematikus és gyakorló tanár is. Munkánk során kérdőívekkel és tesztekkel vizsgáltuk tanárok és diákok kombinatorikával kapcsolatos beállítódását és ismereteit, valamint egy oktatási anyagot dolgoztunk és próbáltunk ki a témában, mely elsősorban a modellalkotó és az algoritmusalkotó képesség fejlesztésére irányult.”
A teljes összefoglaló anyag az alábbi linken olvasható: http://mta.hu/szakmodszertani-palyazat/a-komplex-matematikatanitas-a-xxi-szazadban-a-kombinatorikus-gondolkodas-fejlesztese-a-legujabb-kutatasi-eredmenyek-alapjan-106244
A projektről a Magyar Tudományos Akadémián tartott beszámoló a következő videón tekinthető meg: http://videotorium.hu/hu/recordings/details/12810,A_komplex_matematikatani
tas_a_XXI._szazadban_
II. A projekt megvalósítása
Két célcsoport számára is létrehoztunk oktatási anyagokat, a 6–7., illetve 10–11. évfolyam számára. Az általános iskolás tananyagokat az alábbi általános iskolákban próbáltuk ki 8-10 egymást követő tanóra során: budapesti Áldás Utcai Általános Iskola; Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium; Hódmezővásárhelyi Varga Tamás Általános Iskola; Szegedi Bonifert Domonkos Általános Iskola; budapesti ELTE Gyertyánffy István Gyakorló Általános Iskola. (Az anyagban látható fényképek Gurdon Józsefné vezetőtanár [ELTE Gyertyánffy István Gyakorló Általános Iskola] 5. osztályos matematikaóráin készültek; az 5. osztályban kísérleti jelleggel próbáltuk ki a 6–7. évfolyamosoknak szánt oktatási anyagokat.)
Az általános iskolás és a középiskolás célcsoportok számára létrehozott tananyagok a következő rendszer szerint épültek fel:
- Rendszerezési képesség fejlesztése
- Összeszámlálási stratégiák felfedezése
- Modell felfedezése
- És amikor a modell nem működik
- Tárgyi reprezentációk alkalmazása
- Képi reprezentációk alkalmazása
- Többféle kontextus, geometriai problémák.
Tekintsük át részletesebben a létrehozott általános iskolai feladatlapokat
Rendszerezés – cicás logikai készlet – ágrajz
(Készítette: Dr. Bagota Mónika)
Cél: Az alsó tagozatból hozott próbálgatási (esetleg rendszerezési) képességből kiindulva egyfajta rendszerezési módszer átadása, a rendszerező képesség fejlesztése.
A foglalkozás során a gyerekeknek elmesélünk egy kerettörténetet, ehhez kapcsolódva kapnak feladatokat. A gyerekek párban dolgoznak. Minden pár kap egy-egy teljes csomag Cica-kártyát, és a tanárnál is van egy teljes csomag kártya.
A Cica-kártya néhány eleme
Kerettörténet: Kata és Bence elhatározták, hogy készítenek egy saját kártyajátékot. Úgy döntöttek, hogy a kártyákon a saját cicáik fognak szerepelni: Mirci, a fehér cica és Cirmi, a szürke cica. A Cica-kártyákat a következőképpen tervezték:
- Minden kártyán egy cica üldögél: Mirci, a fehér cica vagy Cirmi, a szürke cica.
- A cicáknak vagy van labdájuk, vagy nincs. A cicáknál lévő labdák színe kék, sárga vagy piros lehet.
- A cicáknak vagy van nyakörvük, vagy nincs. A cicákon lévő nyakörv színe piros vagy zöld lehet.
- A cicák mellett vagy repül pillangó, vagy nem.
Ráhangolódásként a gyerekek az alábbi játékok segítségével ismerkednek a készlettel.
- Barkochba-játék: A tanár kivesz egy kártyát a saját készletéből, és a gyerekeknek ki kell találniuk, hogy melyik kártyáról van szó. A barkochba szabályainak megfelelően a gyerekeknek olyan kérdéseket kell feltenniük, amelyekre a tanár csak igennel vagy nemmel felelhet.
- Elvitte a szarka: A tanár mindegyik pártól elvesz egy (esetleg két) kártyalapot, és a gyerekeknek ki kell találniuk, hogy melyik lap hiányzik a készletükből. Ehhez természetesen rendet kell rakniuk a kártyák között.
- Barkochba-játék (újra): A tanár kivesz egy kártyát a saját készletéből, és a gyerekeknek ki kell találniuk, hogy melyik kártyáról van szó. Ha a gyerekek nagyon ügyesek, akkor itt lehet hazudós barkochba-játékot is játszani: a barkochba szabályainak megfelelően a gyerekeknek olyan kérdéseket kell feltenni, amelyekre a tanár csak igennel vagy nemmel felelhet. Most azonban a tanár minden kérdésre hamis választ ad.
A rendszerező képesség fejlesztése olyan egymásra épülő játékos feladatokkal, amelyekben a feltételeknek megfelelő Cica-kártyákat kell megkeresni a készletben vagy színezéssel kell létrehozni a megfelelő számú Cica-kártyát.
Mintafeladatok:
1. Hány olyan kártya készült, amelyiken csak Mirci, a fehér cica vagy Cirmi, a szürke cica üldögél nyakörv nélkül (sem labda, sem pillangó nincs a kártyán)?
2. Hány olyan kártya készült, amelyiken Mirci, a fehér cica üldögél nyakörv nélkül egy labda mellett (a pillangó nincs a kártyán)? Színezd ki! (Vigyázz lehet, hogy több kártya van, mint lehetőség!)
Egyfajta rendszerezési módszer: ágrajz bemutatása olyan feladatok segítségével, amelyekben már csak felsorolni kell valamilyen rendszer szerint a feltételeknek megfelelő megoldásokat. (Természetesen segítségként továbbra is ki lehet rakni a megfelelő kártyákat.) Először a tanár a gyerekekkel közösen megbeszéli, hogy ki milyen rendszert talált (a legjobb megoldások a táblára is felkerülhetnek), végül a tanár ágrajzzal ábrázolja a megoldást.
Mintafeladatok:
3. Oldd meg ágrajz segítségével az alábbi feladatot! Hány olyan kártya készült, amelyiken Cirmi, a szürke cica üldögél nyakörvvel a nyakában egy labda mellett (a pillangó nincs a kártyán)? Segítségként elkezdtük az ágrajzot.
4. (befejező feladat) Tervezz ágrajzot a Cica-kártyához! (Figyelj arra, hogy az ágrajzból egyetlen kártya se maradjon ki!)
2. feladatlap:
Sorba rendezések színes rudakkal
(Készítette: Jakucs Erika)
Cél: Az előző foglalkozás során szerzett rendszerező képesség további fejlesztése és az ágrajz gyakorlása másfajta feladatokon keresztül.
A foglalkozás során a gyerekek párokban dolgoznak úgy, hogy minden pár az óra elején kap egy színes rúdkészletet és egy nagyobb méretű kockát.
Mintafeladatok:
1. Rakd ki a színes rudakból a 6-ost (lila), és a 3, 2, 1 (kék, rózsaszín, fehér) elemekből készíts vele egyenlő hosszú szakaszokat úgy, hogy minden szakaszban (sorban) minden elemet pontosan egyszer használsz fel. Keresd meg az összes lehetőséget!
A 6-os (lila) rúd szőnyegezése
fehér, rózsaszín, kék rudakkal
2. Tippelj! Most a 10-et fogjuk szőnyegezni az 5, 3, 2 elemekkel! Több lesz a lehetőségek száma? Kevesebb? Ugyanannyi?
3. Egy bogár a kocka élein közlekedve az egyik csúcsból az átellenes csúcsba igyekszik (a bogár csak előre haladhat, nem fordulhat vissza). Hányféle útvonalon juthat oda? Rajzold be az ábrába! (Egy ábrára csak egy útvonalat rajzolj!)
4. Készítsük el a hétfői órarendet! Az első óra torna (T), a negyedik ének (É), ezeket nem mozdíthatjuk el, mert a terem ekkor szabad. A másik 3 óra nyelv (Ny), matek (M) és rajz (R). Keresd meg az összes lehetőséget!
A második foglalkozás során az a legfontosabb feladat, hogy a gyerekek észrevegyék a különböző feladatok között az analógiát. Ehhez nagy segítséget nyújt az, ha elkészítjük a feladatok ágrajzait, amelyek (a látszólagos különbözőség ellenére) teljesen hasonlóak lesznek.
Különböző szövegű feladatok sorba rendezésre
(Készítette: Balázsné Mónus Anikó)
Cél: A rendszerező képesség további fejlesztése és az ágrajz gyakorlása bonyolultabb szőnyegezésekkel és különböző, nagyobb elemszámú feladatokkal.
Szőnyegezés a fokozatosság figyelembevételével, kapcsolódva az előző foglalkozás szőnyegezéseihez.
Mintafeladatok:
1. Rakd ki a 9-et a 4, 3, 2 rudakkal, a 8-at a 4, 3, 1 rudakkal, a 7-et a 4, 2, 1 rudakkal!
2. Rakjuk ki a 10-et a 4, 3, 2, 1 rudakkal az előzőek alapján!
A 10 szőnyegezése színes rudakkal: nagyon szépen látható, ahogy a gyerekek 6-os csoportokba (majd ezeken belül további csoportokba) rendezik a megoldásaikat.
Más, nagyobb elemszámú feladatok
3. A táborban a csapatoknak címert kellett készíteniük. Bencéék a fa, sátor, labda és víz motívumát használták a címer elkészítéséhez. Hányféleképpen tervezhették meg a címert, ha az alábbi sablonban kellett dolgozniuk, mind a négy motívumot fel kellett használniuk, és minden motívumnak külön rekeszbe kellett kerülnie?
Feltételeknek megfelelő alkotások: Noé bárkája
(Készítette: Kruchió Mária)
(Noé bárkájának ötlete az Archelino [Huch & Friends] játékból származik.)
Cél: Olyan sorba rendezési feladatok megoldása, amelyeknél nem alkalmazható szabályszerűség. Több feltételnek megfelelő sorrendet, sorrendeket kell találni. (Ahhoz, hogy belássuk, hogy nincs több lehetőség, a rendszerezésnél azokat az eseteket is meg kell vizsgálni, amelyek végül nem lehetségesek.)
A foglalkozás során a gyerekeknek elmesélünk egy kerettörténetet, ehhez kapcsolódva kapnak feladatokat. A gyerekek párban dolgoznak. Minden pár kap egy állatkészletet és egy Noé bárkáját jelképező lapot.
Noé bárkájának állatai. Mindegyik állat „kétoldalas”, tehát előre és hátra is nézhet.
Kerettörténet: Az özönvíz elől menekülve 6 állat: egy víziló, egy oroszlán, egy zsiráf, egy panda, egy kenguru és egy zebra sorban egymás után szállnak fel Noé bárkájára. Az elhelyezkedésükre vonatkozóan hetente más-más feltételt ad meg Noé. Fontos, hogy hányadik helyre ülnek, és az sem mindegy, hogy előre vagy hátra néznek. (Mivel a bárkában mindig Noé ül elöl, így az néz előre, aki Noé felé néz.) A hosszú úton két állat sokszor beszélget egymással, azaz egymás felé fordulva helyezkednek el.
A feladat az, hogy az állatokat a feltételeknek megfelelően helyezzük el a bárkában. A rajzon mindig balról jobbra haladunk, a bal szélső hely az első, és így tovább. Az állatok nevét kezdőbetűikkel rövidíthetjük, és a betű fölé húzott nyíllal jelöljük, hogy előre vagy hátra néznek.
Írjuk fel, melyik héten mely lehetőségek közül választhatnak! Vizsgáljuk meg, melyik héten lehetséges, hogy mindennap másképpen ülnek az állatok a bárkában!
Ha az előző órán jól ment a 4 elem sorba rendezése szorzással, akkor megkérdezhetjük, hogy ha mindenki előrenéz, akkor hányféle sorrendben ülhet be a bárkába a 6 állat (megoldás: 720). A beszállással jól magyarázható az első helyre 6-féleképpen választhatjuk ki, hogy ki ül oda, a másodikra 5-féleképpen, és így tovább, az utolsó helyre már csak egy lehetőség marad.
Mintafeladatok:
1. A panda mindenképpen elöl szeretne utazni, a zebra pedig hátul. Az első három állat előrenéz, a többiek hátra.
Feltételek:
a) Az oroszlán és a víziló nem ülnek egymás után.
b) A zsiráf és a kenguru nem ülnek egymás után.
c) A zsiráf nem ül előrébb, mint az oroszlán.
A képen jól látható, ahogy a gyerekek együtt gondolkodnak és dolgoznak.
Az egyik gyerek az állatokat rakosgatja a bárkában, a másik pedig lejegyzi a megoldásokat.
2. Néhány állat már helyet foglalt a bárkában:
További feltételek:
a) A kenguru és a zsiráf között egy állat ül, akinek mindketten hátat fordítanak.
b) A víziló előrenéz.
A feladat megoldásának egy pillanatképe
Dominók, triominók, pentominók
(Készítette: Dr. Szitányi Judit)
Cél: A kombinatorika és a geometria összekapcsolása, a megfelelő feladatmegoldási stratégia kiválasztása.
A foglalkozás során a gyerekek párban dolgoznak, így rakosgatják a négyzetlapokat és készítik a dominókat.
Mintafeladatok:
1. Hányféle dominó készíthető, ha a és
jeleket rajzoljuk rájuk? (Egy dominón azonos jelek is lehetnek, és egy mezőt üresen is lehet hagyni.)
Készülnek a dominók, az 1. sorban és az 1. oszlopban jól látható a rendszerező gondolkodás
2. Három négyzet teljes lapjának összeragasztásával olyan alakzathoz jutunk, melynek neve: triominó. Hányféle triominót lehet rajzolni?
3. Négy négyzet teljes lapjának összeragasztásával olyan alakzathoz jutunk, melynek neve: tetrominó vagy tetrisz. Hányféle tetrominót lehet rajzolni?
4. Öt négyzet teljes lapjának összeragasztásával olyan alakzathoz jutunk, melynek neve: pentominó. Hányféle pentominót lehet rajzolni? Állítsátok elő az összeset!
(A triominó, tetrominó, pentominó témakörben számos érdekesség olvasható az alábbi írásban: http://www.irisro.org/pedagogia2016konfkotet/43BagotaMonika.pdf.)
Rakosgatások, színezések háromszögekkel
(Készítette: Dr. Pintér Klára)
Cél: A háromszögek rakosgatása az előző órai négyzetpakoláshoz hasonlóan. A kapott alakzatok színezéséhez rendszerezés szükséges.
A feladatokat mindenki megoldja a saját feladatlapján. A megoldást segíti, ha valamilyen geometriai építőkészlet egybevágó szabályos háromszöglapjait használják a gyerekek. Ezekből általában nem tudják egyszerre az összes lehetőséget kirakni, ekkor az éppen kirakottat lerajzolják, és újabbakkal próbálkoznak. A rakosgatásokat a gyerekek párban megbeszélhetik.
Mintafeladatok:
1. Hányféle alakzatot készíthetünk, ha 4 szabályos háromszöget teljes oldalukkal összeillesztünk? (Két alakzat különböző, ha síkbeli mozgatással nem vihetők át egymásba.)
2. Színezd ki 2 színnel az ábrán látható alakzatot! (Minden alakzatban
mindkét szín előfordul, és egy háromszög mindig egyszínű.)
A színezések rendszere:
3. Hányféleképpen lehet kiszínezni az ábrán látható alakzatot 4 színnel?
Kezdhetnek színezni a gyerekek, de szerencsés volna, ha rájönnének, hogy ez ugyanaz a feladat, mint amikor 4 különböző dolgot kellett sorba rendezni, így a lehetőségek száma 24.
7. feladatlap:
Fagyizás – kiválasztások
(készítette: Dr. Ambrus Gabriella)
Cél: Fagyigombócok rakosgatása különböző módokon. A megadott fagylaltok létrehozásához rendszerezés szükséges. Nyitott feladatok segítő lépésekkel.
A foglalkozás során a gyerekek 4-6 fős csoportokban dolgoznak 5-féle különböző színű koronggal úgy, hogy az egyes színekből kellő mennyiségű álljon rendelkezésre.
Mintafeladat:
Zita egy nagy fagyizóba szokott járni rendszeresen, itt 10-féle fagyiból választhat. Ezek közül 5 tartozik a kedvencei közé, ezekből szokott válogatni. Ha mindennap 3 különböző gombócot eszik, hány napon át tud mindig különböző fagyit venni?
Rakosgathatnak gombócokat a gyerekek, de szerencsés volna, ha rájönnének, hogy amikor a gombócok sorrendje számít, majdnem ugyanúgy kell gondolkodni, mint amikor 5 különböző dolgot kellett sorba rendezni, így a lehetőségek száma 60. Amikor pedig nem számít a gombócok sorrendje, jó lenne látni az összes lehetséges kirakást. (Az is szerencsés lenne, ha rájönnének, hogy ebben a feladatban nincs minden adatra szükségünk: jelen esetben a 10 egy „felesleges” adat.)
A foglalkozások során a megfigyelési szempontjaink az alábbiak voltak:
- Milyen stratégiákat alkalmaznak a tanulók?
- Hogyan lépnek kis számról nagyobbra?
- Mennyire okoz nehézséget a feltételek számának növelése?
- Segítenek-e az eszközök, a tevékenység, meddig használják?
- Felismerik-e a közös modellt különböző kontextusokban?
- Segít-e az együttműködés?
Eddigi tapasztalataink:
- Az órákon a gyerekek aktívan és szívesen használták az eszközöket, melyek sok esetben nagy segítségükre voltak. A színezéses feladatokat is nagyon szerették.
- Az ábrakészítés, az ágrajz, a rendszerezés és a matematikai jelekkel történő megoldás sokat segít a megoldásban.
- A feladatok közti analógiát a feladat megoldása előtt kevesen, a megoldás után sokan felismerték.
Gyerekvélemények:
- „A páros munka volt a legjobb.”
- „Szuper volt, hogy rengeteget dolgozhattunk csapatmunkában is.”
- „A Noé bárkája feladat nagyon ötletes volt.”
- „A párbajnak először nem örültem, mert nagyon nem szeretek versenyezni, de aztán az is jó lett.”
- „Tetszett, hogy a macskás feladatban rá kellett jönni egy jó stratégiára.”
- „Sok hibánk volt, de ez nem volt baj, mert így egyre többen értették meg az egyes feladatrészeket.”
III. A projekt folytatása
2016 júniusában tudtuk meg, hogy pályázatunk elnyerte az MTA támogatását a projekt folytatására is. Így, folytatva a munkát és felhasználva az eddigi tapasztalatokat munkacsoportunk további oktatási anyagok létrehozását tervezi a kombinatorika mellett a matematika más területein is.